Непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость степенных рядов внутри интервала сходимости

${} S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} {}$ непрерывна на $(-R,R),$ где $R~-~$ радиус сходимости

Если $R>0,$ то $\forall{r<R}~~$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ сходиться равномерно $[-r,r]$ по признаку Вейерштрасса: $|a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|r^{n}$ по первой теореме Абеля $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}r^{n}$ сходится абсолютно $a_{n}x^{n}$ непрерывна ${} \forall{n \in N}~~\Rightarrow_{по~т.о.непр.функ.ряда} S(x) {}$ непрерывна на $[-r,r],~[-r,r]=(-R,R)$ $\square$

$S(x)$ интегрируема на $\forall{[a,b] \subset (-R,R)},$ причем: $\int\limits_{a}^{b} S(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{n}}{n+1} x_{n-1} |^{b}_{a}$

$S(x)$ бесконечно дифференцируема на $[-R, R],$ причем: $$S^{'}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$$

Заметим, что $\sum a_{n}x^{n}$ и $\sum na_{n}x^{n-1}$ имеют одинаковый радиус сходимости: $$A = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt{a_{n}}^{n},~~A^{'}=\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt{a_{n}*n}^{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt{a_{n}}^{n} *\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt{n}^{n} = A*1$$ По теореме о дифференцировании рядов $S(x)$ дифференцируема, причем $S^{'}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$